Доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180°

28.06.2025 в 22:32

Теорема о сумме углов треугольника является одной из фундаментальных в евклидовой геометрии. Существует несколько способов доказательства этого утверждения, которые мы рассмотрим ниже.

Классическое доказательство через параллельные прямые

1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC
2. Проведем через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC
3. Угол DBA равен углу BAC как накрест лежащие при параллельных DE и AC и секущей AB
4. Угол EBC равен углу BCA как накрест лежащие при тех же параллельных и секущей BC
5. Углы DBA, ABC и EBC образуют развернутый угол, равный 180°
6. Следовательно, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

Альтернативное доказательство через вращение

• Представим движение по контуру треугольника
• При повороте у вершины A на угол 180°-α (где α - угол при вершине A)
• Аналогичные повороты выполняем у вершин B и C
• В результате полный поворот составляет 360°
• Уравнение: (180°-α) + (180°-β) + (180°-γ) = 360°
• После преобразований получаем α + β + γ = 180°

Доказательство для прямоугольного треугольника

Экспериментальное доказательство

Метод отрывания углов

1. Нарисуйте треугольник на бумаге
2. Аккуратно отрежьте или оторвите его углы
3. Сложите оторванные углы вершинами вместе
4. Убедитесь, что они образуют прямую линию (180°)

Заключение

Рассмотренные доказательства различными методами подтверждают, что сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии всегда равна 180 градусам. Это свойство является основополагающим для многих других геометрических теорем и построений.